这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。
在傅里叶变换中有时域$f(t)$，频域$F(s)$，他们的对应关系按照如下方式标记：
$f(t) \ \leftrightarrow \ F(s)$
时延性（Delayed）
$f(t-b) \ \leftrightarrow \ ?$
时延性在时域的表示为$f(t-b)$，函数整体比$f(t)$延后b。那么在频域该如何变化呢？
$\begin{align*}
&\quad \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(t-b)dt\\&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi is(u+b)}f(u)du \quad u=t-b\\&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isu}e^{-2\pi isb}f(u)du\\&=e^{-2\pi isb}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isu}f(u)du\\&=e^{-2\pi isb}F(s)\end{align*}$因此，
$f(t-b)\leftrightarrow e^{-2\pi isb}F(s)$
$f(t\pm b)\leftrightarrow e^{\pm 2\pi isb}F(s)$
时域上的时移对应频域上的相移（Shift in time corresponds to a phase shift in frequency）。令$F(s) = |F(s)|e^{2\pi i\theta(s)}$，其中$|F(s)|$代表振幅（magnitude），$\theta(s)$代表相位（phase），那么，
$e^{-2\pi isb}F(s)=|F(s)|e^{2\pi i(\theta(s)-sb)}$
上面的等式代表了频谱的振幅不变，而相位改变了。
尺度变化（scaling）
$f(at) \ \leftrightarrow \ ?$
1. 当$a>0$时，
$\begin{align*}
&\quad \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(at)dt\\&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi is(\frac{u}{a})}f(u)d\frac{u}{a} \quad u=at\\&=\frac{1}{a}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i(\frac{s}{a})u}f(u)du\\&=\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})\end{align*}$2. 当$a<0$时
$\begin{align*}
&\quad \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(at)dt\\&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi is(\frac{u}{a})}f(u)d\frac{u}{a} \quad u=at\\&=\frac{1}{a}\int_{\infty}^{-\infty}e^{-2\pi i(\frac{s}{a})u}f(u)du\\&=-\frac{1}{a}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i(\frac{s}{a})u}f(u)du\\&=-\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})\end{align*}$把两种情况合在一起，有
$f(at) \ \leftrightarrow \ \frac{1}{|a|}F(\frac{s}{a})$
下面在图像上观察时域与频域具体是如何变化的（以高斯函数为例子）
1. 当$a>1$时，
时域横向压缩，频域横向扩展、纵向压缩，即频域分散
2. 当$0<a<1$时
时域横向扩展，频域横向压缩、纵向扩展，即频域集中
上述情况表面了时域与频域不可能同时在一个方向上压缩与扩展。
卷积（convolution）
卷积可能算是信号处理中最重要的运算了。
信号处理可以被理解为：如何用一个函数（信号）调制另一个函数（信号）。（Signal Processing can be said to how can you use one function(signal) to modify another.）
大部分情况下，信号处理是着力于改变信号的频谱，也就是说，先对信号进行傅里叶变换，然后在频域进行处理，之和进行傅里叶逆变换得到处理过后的信号。
线性处理
即两个信号线性叠加
$\begin{align*}
\mathcal{F}(f+g) &=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}(f(t)+g(t))dt\\&=\int_{-\infty}^{\infty}\left(e^{-2\pi ist}f(t)+e^{-2\pi ist}g(t)\right)dt\\&=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(t)dt+\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}g(t)dt\\&=\mathcal{F} f + \mathcal{F} g\end{align*}$
频域相乘处理
$\begin{align*}
\mathcal{F}(f)\mathcal{F}(g) &=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}g(t)dt\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx}g(x)dx\\&=\iint_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}e^{-2\pi isx}g(t)f(x)dtdx\\&=\iint_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi is(t+x)}g(t)f(x)dtdx\\&=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi is(t+x)}g(t)dt \right )f(x)dx\\&=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi is(u)}g(u-x)du \right )f(x)dx \quad u=t+x\\&=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}g(u-x)f(x)dx \right )e^{-2\pi isu}du\\\end{align*}$令$h(u) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}g(u-x)f(x)dx }$，
那么，
$(\mathcal{F} g)(\mathcal{F} f) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isu}h(u)du }$
卷积定义
卷积用符号$*$表示，运算方法如下
$(g*f)(x) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}g(x-y)f(y)dy }$
$\mathcal{F}(g*f) = (\mathcal{F} g)(\mathcal{F} f)$
信号的卷积的傅里叶变换等于对这些信号进行傅里叶变换后的乘积。